The elementary obstruction and homogeneous spaces

Let k be a field of characteristic zero and k an algebraic closure of k. For a geometrically integral variety X over k , we write k (X) for the function field of X = X × k k. If X has a smooth k-point , the natural embedding of multiplicative groups k * ֒→ k (X) * admits a Galois-equivariant retraction. In the first part of the paper , over local and then over global fields , equivalent conditions to the existence of such a retraction are given. They are expressed in terms of the Brauer group of X. In the second part of the paper , we restrict attention to varieties which are homogeneous spaces of connected but otherwise arbitrary algebraic groups , with connected geometric stabilizers. For k local or global , for such a variety X , in many situations but not all , the existence of a Galois-equivariant retraction to k * ֒→ k (X) * ensures the existence of a k-rational point on X. For homogeneous spaces of linear algebraic groups , the technique also handles the case where k is the function field of a complex surface. Résumé Soient k un corps de caractéristique nulle et k une clôture algébrique de k. Pour une k-variété X géométriquement intègre , on note k (X) le corps des fonctions de X = X × k k. Si X possède un k-point lisse , le plongement naturel de groupes multiplicatifs k * ֒→ k (X) * admet une rétractionéquivariante pour l ' action du groupe de Galois de k sur k. Dans la premì ere partie de l ' article , sur les corps locaux puis sur les corps globaux , on donne des conditionséquivalentesà l ' existence d ' une telle rétractionéquivariante. Ces conditions s ' expriment en terme du groupe de Brauer de la variété X. Dans la seconde partie de l ' article , on considère le cas des espaces homogènes de groupes algébriques connexes , non nécessairement linéaires , avec groupes d ' isotropie géométriques connexes. Pour k local ou global , pour un tel espace homogène X , 1 dans beaucoup de cas mais pas dans tous , l ' existence d ' une rétractionéquivariantè a k * ֒→ k (X) * implique l ' existence d ' un point k-rationnel sur X. Pour les espaces homogènes de groupes linéaires , …